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今天是《LeetCode 热题 100》系列

发车第 91 天

多维动态规划第 1 题

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

难度：💖💖

解题方法

这道题目是经典的“不同路径”问题，可以用动态规划（Dynamic Programming，DP）的方法来解决。我们需要计算一个机器人从左上角移动到右下角的所有可能路径数量。

初始化状态数组

首先，我们需要一个二维数组 f 来存储到达每个单元格的不同路径数量。因为机器人只能向右或向下移动，所以第一个格子和最后一列的路径数都是1。

int[][] f = new int[m][n];

| 1 | 1 | 1 | ... | 1 |
|---|---|---|-----|---|
| 1 |   |   |     |   |
| 1 |   |   |     |   |
...
| 1 |   |   |     |   |

填充状态数组

接下来，我们遍历这个二维数组，除了第一行和第一列之外，每个格子的路径数是它左边和上边格子的路径数之和。

for (int i = 1; i < m; ++i) {
    for (int j = 1; j < n; ++j) {
        f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
    }
}

| 1 | 1 | 1 | ... | 1 |
|---|---|---|-----|---|
| 1 | 2 | 3 | ... |   |
| 1 | 3 | 6 | ... |   |
...
| 1 |   |   | ... |   |

返回结果

最后，我们返回二维数组的右下角单元格的值，即为总的不同路径数。

return f[m - 1][n - 1];

这样我们就完成了整个计算过程，得到了从左上角到右下角的所有可能路径数。代码中的注释已经详细解释了每一步的操作和目的。

Code

查看代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] f = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            f[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            f[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
            }
        }
        return f[m - 1][n - 1];
    }
}